素数の間隔(1)
prime gaps
素数の間隔の平均値を表す近似式を求める。更に素数の間隔の規則性を調べ、そのグラフが良く知られた図形と非常に似ていることを示す。
連続する2つの素数PnとPn+1の間隔を差のPn+1-Pn として、x=Pn+1 のときy=Pn+1-Pn を考える。最初の1,000個の素数を使用して、x軸を対数目盛とした間隔のグラフは次の通り。
間隔の平均値を求めると次のグラフになる。素数定理より平均値はおよそln x であるが、更に正確には(ln x)/(1-1/(2√x)) あるいはそれに近い式 (ln x)(1+1/(2√x)) が実際と合うようだ。「平方数間の素数の個数(1)」を参照。
冒頭のグラフを見ても規則性は想像しにくい。そこで密度差をよりわかり易くするために点を小円に変更してみる。すると黒い塊が下側にあり上や斜めに泡が出ているような図形が見える。どこかで見た図形である。左には直線的なものが延びている。これは正に「マンデルブロー集合」だ!
なお右のグラフのようにx=Pn+1 ではなくx=n+1 としても殆ど同じ様な図形になるが、左の図形で考える。
y=2 の線で対称になるよう下側を追加すると次の図になる。
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図を合成すると
良く一致しているようだ。
図の合成ではなく、同一プログラムによる 出力結果 。
そのUBASICプログラムを示す。拡張性よりも簡潔さに重点を置いている。
150 school:screen
1:locate 0,26:P=2
200 ' Mandelbrot set
220 for X=0 to 600
230 for Y=0 to 400
240 Z=0:C=(X-1450)/800+#i*(Y-40)/800:B=1
250 if
or{abs(C+1.309)<0.056,abs(C+1)<0.247} then goto 320
260 for K=1 to 1000
270 Z=Z*Z+C
290 if abs(Z)>10^4
then cancel for:goto 350
300 next
320 B=0
350 pset (X,Y),(K@4+4)*B
370 next
380 next
400 ' Prime gaps
450 for N=2 to 1000
460 Q=P:P=nxtprm(P):Gap=P-Q
470 circle (45+log(P)*58,24+Gap*8),3,1
490 next
250 の命令一行は自明なマンデルブロー集合の点をバイパスし、処理速度を向上するためにある。
次の条件で 作成した図 。
・290 if abs(Z)>2 then cancel for:goto 350 (zの絶対値が2より大)
・350 if or{K=10,K>=20} pset (X,Y),(K mod 4+2)*B (部分的に着色)
間隔の差は次のグラフのようにほぼ上下対称になる。これも同様に「マンデルブロー集合」に近い図形となる。
プログラムは次の通り。
150 school:screen
1:locate 0,26:P=3:G2=1
200 ' Mandelbrot set
220 for X=0 to 450
230 for Y=0 to 400
240
Z=0:C=(X-900)/450+#i*(Y-200)/450:B=1
250 if
or{abs(C+1.309)<0.056,abs(C+1)<0.247} then goto 320
260 for K=1 to 1000
270 Z=Z*Z+C
290 if abs(Z)>2
then cancel for:goto 350
300 next
320 B=0
350 if or{K=10,K>=20} pset
(X,Y),(K mod 4+2)*B
370 next
380 next
400 ' distances between prime gaps
450 for N=3 to 1000
460 Q=P:G1=G2:P=nxtprm(P):Gap=P-Q:G2=Gap
470 circle (128+log(P)*30,200+(G2-G1)*5),2,7
490 next
どこまでも素数の分布はフラクタルな性質を持つようだ。
この他に「カオス 素数や素粒子の分布とマンデルブロー集合」や「カオス 秩序と調和」でも調べている。
数学の豊富な話題と充実した内容で知られる佐藤 郁郎氏のサイトの「今月のコラム（閑話休題）」でこの研究を紹介して頂きました。ありがとうございます。
2004年のNo.5 「素数の間隔分布（Sugimoto氏の発見について）」です。直前の話題である
2004年のNo.4 「素数定理の歴史」
2004年のNo.3 「ゼータ関数の零点分布と量子カオス」
も関連するテーマですので合わせて御覧下さい。