素数の分布(3)
distribution of prime numbers
階段状の素数分布を比較的単純な級数和により近似することができるので、その式とグラフを紹介する。リーマンの式とは異なり、ゼータ関数の零点の情報は必要としない。
「平方数間の素数の個数(1)」で示した
とπ(x)の差を分析して、更に正確な式を考え出した。メビウスの関数μ(x)を使用する次の式である。μ(x)は差のパターン、1/kは差の程度から見当を付け、係数1/5は素数での値つまり水平線の左端で値が近くなるように決定した。
Step
Function for pi(x)
次のx=2〜100 のグラフからわかるように、相当正確に素数の分布線と一致する。階段を登るようにわずかに大きめの値になる。ゼータ関数の零点の情報を使用せずに階段状になる理由は、メビウスの関数が「素数に関する情報」を含んでいるからである。
xが素数の場合は多くの個所で非常に近い値になる。例えば SF(2)=1.03263…,SF(13)=6.00354…,SF(47)=14.99904…,SF(97)=25.10678… である。
xが100から1000 のグラフは次の通り。各グラフの範囲は一定ではなく、拡大率が異なることに注意。
階段の勾配がきつい個所では少し値が大きくなる傾向があるようだ。
xが860以降の緩やかな部分では、相当近い値を示している。