平方数の逆数和
や 
は有名であるが、
はどのような値になるのか。π に加えてｅ が関係してくることがわかる。
また交代級数との関係についても調べる。
自然数に対応する和
1/tanh x を部分分数で表現すると
となる。従って
x=aπ のとき
**
である。特別な場合として次の値になる。
π2/6=1.6449340668… に近付いていることがわかる。
また x=aπ/i のとき tanh(ix)=i tan x のため
**
従って
これは次のように変形できる。
例えば
自然数の平方は奇数の和であるので
自然数の和の場合は
参考式
奇数に対応する和
tanh (x/2) を部分分数で表現すると
となる。従って
x=aπのとき
である。特別な場合として次の値になる。
また x=aπ/i のとき tanh(ix)=i tan x のため
**
従って
これは次のように変形できる。
例えば
π2/8=1.2337005501… に近付いていることがわかる。
偶数に対応する和
自然数と奇数の差より
**
従って
これらの値は次のゼータ関数値の級数和となっている。「ζ(k)の母関数(級数型関数)」を参照。
各種の級数和を調べてきたが、多くの値はオイラーによって原理的に解明されている。**印の付いた式は、「オイラーの無限解析」に出てくる式と本質的に等しい。
奇数の逆数の交代級数 1/1-1/3+1/5-1/7+…=π/4 の部分和と、
自然数の逆数の交代級数 1/1-1/2+1/3-1/4+…=ln 2 を組み合わせるとカタラン定数となる。
