立方数等の逆数和
であるが、
の値は何か。
このページでは主として分母が kn+2-kn の形式である級数の値を求める。πとln 2 が現れる。
分母が k3-k の形式の級数。
kが奇数で交代級数の場合
1/(33-3)-1/(53-5)+1/(73-7)-1/(93-9)+…
= 1/(2*3*4)-1/(4*5*6)+1/(6*7*8)-1/(8*9*10)+…
=(9/(2*4)-1)/3-(25/(4*6)-1)/5+(49/(6*8)-1)/7-(81/(8*10)-1)/9+…
=(3/(2*4)-1/3)-( 5/(4*6)-1/5)+( 7/(6*8)-1/7)-( 9/(8*10)-1/9)+…
=(1/4+1/8-1/3)-(1/8+1/12-1/5)+(1/12+1/16-1/7)-(1/16+1/20-1/9)+…
= 1/4+(π/4-1)
=(π-3)/4
であるので有名な級数
に対して、
が成り立つ。収束はこちらの式がはるかに速い。
分母の数字の立方数を分母から(初項は分子から)引いても値は不変であるのが面白い。
kが奇数の場合
1/(33-3)+1/(53-5)+1/(73-7)+1/(93-9)+…
= 1/(2*3*4)+1/(4*5*6)+1/(6*7*8)+1/(8*9*10)+…
=(1/2-1/3-1/(2*4))+(1/4-1/5-1/(4*6) )+(1/6-1/7-1/(6*8) )+…
=(1/2-1/3-1/4+1/8)+(1/4-1/5-1/8+1/12)+(1/6-1/7-1/12+1/16)+…
=(1-ln 2)-1/4
であるので
に対して、
が成り立つ。
kが偶数の場合
この式は下記の 1/(1*2*3)+1/(3*4*5)+1/(5*6*7)+…=(ln 2)-1/2 と同一である。
分母が k4-k2 の形式の級数。
kが奇数の場合
1/(34-32)+1/(54-52)+1/(74-72)+1/(94-92)+…
= 1/(2*32*4)+1/(4*52*6)+1/(6*72*8)+1/(8*92*10)+…
=(9/(2*4)-1)/32+(25/(4*6)-1)/52+(49/(6*8)-1)/72+(81/(8*10)-1)/92+…
=(1/(2*4)-1/32)+( 1/(4*6)-1/52)+( 1/(6*8)-1/72)+( 1/(8*10)-1/92)+…
=(1/4-1/8-1/32)+(1/8-1/12-1/52)+(1/12-1/16-1/72)+…
= 1/4-(π2/8-1)
=(10-π2)/8
従って
kが偶数の場合
1/(24-22)+1/(44-42)+1/(64-62)+1/(84-82)+…
= 1/(1*22*3)+1/(3*42*5)+1/(5*62*7)+1/(7*82*9)+…
=(4/(1*3)-1)/22+(16/(3*5)-1)/42+(36/(5*7)-1)/62+(64/(7*9)-1)/82+…
=(1/(1*3)-1/22)+( 1/(3*5)-1/42)+( 1/(5*7)-1/62)+( 1/(7*9)-1/82)+…
=(1/2-1/6-1/22)+(1/6-1/10-1/42)+(1/10-1/14-1/62)+…
= 1/2-π2/24
従って
kが自然数の場合、π2の値は
kが奇数の2倍では
1/(24-22)+1/(64-62)+1/(104-102)+…
= 1/(1*22*3)+1/(5*62*7)+1/(9*102*11)+…
=(4/(1*3)-1)/22+(36/(5*7)-1)/62+(100/(9*11)-1)/102+…
=(1/(1*3)-1/22)+( 1/(5*7)-1/62)+( 1/(9*11)-1/102)+…
=(1/4){(2/1-2/3-1/12)+(2/5-2/7-1/32)+(2/9-2/11-1/52)+…}
=(π/2-π2/8)/4
= π/8-π2/32
従って
kが偶数の2倍つまり4の倍数では
1/(24-22)+1/(44-42)+1/(64-62)+1/(84-82)+…=1/2-π2/24 と
上記式 1/(24-22)+1/(64-62)+1/(104-102)+…=π/8-π2/32 の差より
分母を連続する自然数の積で表した式。
1/(1*2*3)+1/(3*4*5)+1/(5*6*7)+…
=(1/1-1/2-1/(1*3))+(1/3-1/4-1/(3*5) )+(1/5-1/6-1/(5*7) )+…
=(1/1-1/2-1/2+1/6)+(1/3-1/4-1/6+1/10)+(1/5-1/6-1/10+1/14)+…
=(ln 2)-1/2
となる。
次に 1/(1*3)2+1/(3*5)2+1/(5*7)2+…=π2/16-1/2 を既知とすると
1/(1*2*3)2+1/(3*4*5)2+1/(5*6*7)2+…
=(4/(1*3)-1)/(1*22*3)+(16/(3*5)-1)/(3*42*5)+(36/(5*7)-1)/(5*62*7)+…
={1/(1*3)2-1/(1*22*3)}+{1/(3*5)2-1/(3*42*5)}+{1/(5*7)2-1/(5*62*7)}+…
=(π2/16-1/2)-(1/2-π2/24)
=5π2/48-1
となる。
参考:既知とした級数の値
4/(1*3)2+4/(3*5)2+4/(5*7)2+…
=(1/1-1/3)2+(1/3-1/5)2+(1/5-1/7)2+…
={1/12+1/32-2/(1*3)}+{1/32+1/52-2/(3*5)}+{1/52+1/72-2/(5*7)}+…
= π2/8+(π2/8-1)-2(1/2)
= π2/4-2
似た方法により得られる各形式の級数。
左の2式に関しては
1/(1*2)2+1/(2*3)2+1/(3*4)2+…
=(1/1-1/2)2+(1/2-1/3)2+(1/3-1/4)2+…
=(1/12+1/22-2/(1*2))+(1/22+1/32-2/(2*3))+(1/32+1/42-2/(3*4))+…
=(1/12+1/22-2/1+2/2)+(1/22+1/32-2/2+2/3)+(1/32+1/42-2/3+2/4)+…
= π2/6+(π2/6-1)-2
= π2/3-3
1/(1*2)3+1/(2*3)3+1/(3*4)3+…
=(1/1-1/2)3+(1/2-1/3)3+(1/3-1/4)3+…
={1/13-1/23-3/(12*2)+3/(1*22)}+{1/23-1/33-3/(22*3)+3/(2*32)}+…
={1/13-1/23-3/(1*2)2}+{1/23-1/33-3/(2*3)2}+{1/33-1/43-3/(3*4)2}+…
= 1-3(π2/3-3)
=10-π2
符号の変化により、πやπ2を含む値になる級数。
1/k5 程度の速さで収束する円周率の式。
32/(12*3*52)+32/(52*7*92)+32/(92*11*132)+…
=(4/32)(1/12-1/52)+(4/72)(1/52-1/92)+(4/112)(1/92-1/132)+…
={4/(1*3)2-4/(3*5)2}+{4/(5*7)2-4/(7*9)2}+…
={(1/1-1/3)2-(1/3-1/5)2}+{(1/5-1/7)2-(1/7-1/9)2}+…
={(1/12+1/32-2/(1*3))-(1/32+1/52-2/(3*5))}+{(1/52+1/72-2/(5*7))-(1/72+1/92-2/(7*9))}+…
={(1/12+1/32-1/1+1/3)-(1/32+1/52-1/3+1/5)}+{(1/52+1/72-1/5+1/7)-(1/72+1/92-1/7+1/9)}+…
= 1-π/4+(1-π/4)
= 2-π/2
1/k7 程度の速さで収束する円周率の式。
分母を連続する奇数の積で表した円周率の式。
ゼータ関数値との関係。
ζ(2)の値は前記の式より
ζ(3)の値は
1/(25-23)+1/(45-43)+1/(65-63)+…
= 1/(1*23*3)+1/(3*43*5)+1/(5*63*7)+…
=(4/(1*3)-1)/23+(16/(3*5)-1)/43+(36/(5*7)-1)/63+…
=(1/(1*2*3)-1/23)+(1/(3*4*5)-1/43)+(1/(5*6*7)-1/63)+…
=(ln 2)-1/2-ζ(3)/23
偶数のゼータ関数値に関しては、ζ(4)の場合
1/(1*22*3)+1/(3*42*5)+1/(5*62*7)+…=1/2-ζ(2)/22
であるので
1/(26-24)+1/(46-44)+1/(66-64)+…
= 1/(1*24*3)+1/(3*44*5)+1/(5*64*7)+…
=(4/(1*3)-1)/24+(16/(3*5)-1)/44+(36/(5*7)-1)/64+…
=(1/(1*22*3)-1/24)+(1/(3*42*5)-1/44)+(1/(5*62*7)-1/64)+…
= 1/2-ζ(2)/22-ζ(4)/24
一般的にnが0,2,4,6,… の場合、次式が成り立つ。右辺の最初の項は1/2である。
奇数のゼータ関数値に関しては、ζ(5)の場合
1/(27-25)+1/(47-45)+1/(67-65)+…
= 1/(1*25*3)+1/(3*45*5)+1/(5*65*7)+…
=(4/(1*3)-1)/25+(16/(3*5)-1)/45+(36/(5*7)-1)/65+…
=(1/(1*23*3)-1/25)+(1/(3*43*5)-1/45)+(1/(5*63*7)-1/65)+…
=(ln 2)-1/2-ζ(3)/23-ζ(5)/25
一般的にnが1,3,5,7,… の場合は次式が成り立つ。
n→∞ では左辺が0となり、ζ(k)/2k の無限和は「ζ(k)と母関数 ζ(k)の母関数(級数型関数)」での結果と一致する。
分母が kn+1-kn の形式の級数。
1/(23-22)+1/(33-32)+1/(43-42)+…
= 1/(221)+1/(322)+1/(423)+…
= (1/1-1/2)/2+(1/2-1/3)/3+(1/3-1/4)/4+…
= (1/1-1/2-1/22)+(1/2-1/3-1/32)+(1/3-1/4-1/42)+…
= 2-π2/6
従って
1/(23+22)+1/(33+32)+1/(43+42)+…
= 1/(223)+1/(324)+1/(425)+…
= (1/2-1/3)/2+(1/3-1/4)/3+(1/4-1/5)/4+…
= (1/22+1/3-1/2)+(1/32+1/4-1/3)+(1/42+1/5-1/4)+…
= π2/6-3/2
従って
立方数を引いた式は
分母が kn+4-kn の形式の級数。
1/(26-22)+1/(46-42)+1/(66-62)+…
= 1/(43-4)+1/(163-16)+1/(363-36)+…
= 1/(3*4*5)+1/(15*16*17)+1/(35*36*37)+…
= 1/(22*3*5)+1/(42*15*17)+1/(62*35*37)+…
=(42/(3*5)-1)/22+(162/(15*17)-1)/42+(362/(35*37)-1)/62+…
=(4 /(3*5)-1/22)+(16 /(15*17)-1/42)+(36 /(35*37)-1/62)+…
=(π/8)(eπ+1)/(eπ-1)-π2/24
4/(3*5)+16/(15*17)+36/(35*37)+… の値は「平方数の逆数和」の 偶数に対応する和 を参照。
従って
先に求めた Σ1/{(2k)4-(2k)2}=1/2-π2/24 を使用してπ2/24を消去すると
2/(k4-1)=1/(k2-1)-1/(k2+1) の関係を利用して求めた式。
分母の数字の立方数を引く方法を関数に対して適用する。
に対して
(-1<x<=1)
に対しては
(0<|x|<=1)
円周率の級数 4/1-4/3+4/5-4/7+… と補正項に関する部分を「円周率と級数」に移動した。(2010.11.23)