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説明: hrb

立方数等の逆数和

 

であるが、の値は何か。

このページでは主として分母が kn+2-kn の形式である級数の値を求めるπln 2 が現れる。


分母が k3-k の形式の級数

 

k奇数で交代級数の場合

  1/(33-3)-1/(53-5)+1/(73-7)-1/(93-9)+…

= 1/(2*3*4)-1/(4*5*6)+1/(6*7*8)-1/(8*9*10)+…

=(9/(2*4)-1)/3-(25/(4*6)-1)/5+(49/(6*8)-1)/7-(81/(8*10)-1)/9+…

=(3/(2*4)-1/3)-( 5/(4*6)-1/5)+( 7/(6*8)-1/7)-( 9/(8*10)-1/9)+…

=(1/4+1/8-1/3)-(1/8+1/12-1/5)+(1/12+1/16-1/7)-(1/16+1/20-1/9)+…

= 1/4+(π/4-1)

=(π-3)/4

であるので有名な級数

    に対して、

    が成り立つ。収束はこちらの式がはるかに速い。

分母の数字の立方数を分母から(初項は分子から)引いても値は不変であるのが面白い。

 


k奇数の場合

  1/(33-3)+1/(53-5)+1/(73-7)+1/(93-9)+…

= 1/(2*3*4)+1/(4*5*6)+1/(6*7*8)+1/(8*9*10)+…

=(1/2-1/3-1/(2*4))+(1/4-1/5-1/(4*6) )+(1/6-1/7-1/(6*8)  )+…

=(1/2-1/3-1/4+1/8)+(1/4-1/5-1/8+1/12)+(1/6-1/7-1/12+1/16)+…

=(1-ln 2)-1/4

であるので

    に対して、

    が成り立つ。

kが偶数の場合

この式は下記の  1/(1*2*3)+1/(3*4*5)+1/(5*6*7)+…=(ln 2)-1/2  と同一である。


説明: hrb

分母が k4-k2 の形式の級数

 

kが奇数の場合

  1/(34-32)+1/(54-52)+1/(74-72)+1/(94-92)+

= 1/(2*32*4)+1/(4*52*6)+1/(6*72*8)+1/(8*92*10)+

=(9/(2*4)-1)/32+(25/(4*6)-1)/52+(49/(6*8)-1)/72+(81/(8*10)-1)/92+

=(1/(2*4)-1/32)+( 1/(4*6)-1/52)+( 1/(6*8)-1/72)+( 1/(8*10)-1/92)+

=(1/4-1/8-1/32)+(1/8-1/12-1/52)+(1/12-1/16-1/72)+

= 1/4-(π2/8-1)

=(10-π2)/8

従って

    

 


kが偶数の場合

  1/(24-22)+1/(44-42)+1/(64-62)+1/(84-82)+

= 1/(1*22*3)+1/(3*42*5)+1/(5*62*7)+1/(7*82*9)+

=(4/(1*3)-1)/22+(16/(3*5)-1)/42+(36/(5*7)-1)/62+(64/(7*9)-1)/82+

=(1/(1*3)-1/22)+( 1/(3*5)-1/42)+( 1/(5*7)-1/62)+( 1/(7*9)-1/82)+

=(1/2-1/6-1/22)+(1/6-1/10-1/42)+(1/10-1/14-1/62)+

= 1/2-π2/24

従って

   

 


kが自然数の場合、π2の値は

 


kが奇数の2倍では

  1/(24-22)+1/(64-62)+1/(104-102)+

= 1/(1*22*3)+1/(5*62*7)+1/(9*102*11)+

=(4/(1*3)-1)/22+(36/(5*7)-1)/62+(100/(9*11)-1)/102+

=(1/(1*3)-1/22)+( 1/(5*7)-1/62)+(  1/(9*11)-1/102)+

=(1/4){(2/1-2/3-1/12)+(2/5-2/7-1/32)+(2/9-2/11-1/52)+}

=(π/2-π2/8)/4

= π/8-π2/32

従って

 

kが偶数の2倍つまり4の倍数では

1/(24-22)+1/(44-42)+1/(64-62)+1/(84-82)+…=1/2-π2/24  と

上記式    1/(24-22)+1/(64-62)+1/(104-102)+…=π/8-π2/32  の差より


説明: hrb

分母を連続する自然数の積で表した式。

 

  1/(1*2*3)+1/(3*4*5)+1/(5*6*7)+…

=(1/1-1/2-1/(1*3))+(1/3-1/4-1/(3*5) )+(1/5-1/6-1/(5*7)  )+…

=(1/1-1/2-1/2+1/6)+(1/3-1/4-1/6+1/10)+(1/5-1/6-1/10+1/14)+…

=(ln 2)-1/2

となる。

 

次に  1/(1*3)2+1/(3*5)2+1/(5*7)2+…=π2/16-1/2  を既知とすると

  1/(1*2*3)2+1/(3*4*5)2+1/(5*6*7)2+…

=(4/(1*3)-1)/(1*22*3)+(16/(3*5)-1)/(3*42*5)+(36/(5*7)-1)/(5*62*7)+…

={1/(1*3)2-1/(1*22*3)}+{1/(3*5)2-1/(3*42*5)}+{1/(5*7)2-1/(5*62*7)}+…

=(π2/16-1/2)-(1/2-π2/24)

=5π2/48-1

となる。

 

参考:既知とした級数の値

  4/(1*3)2+4/(3*5)2+4/(5*7)2+…

=(1/1-1/3)2+(1/3-1/5)2+(1/5-1/7)2+…

={1/12+1/32-2/(1*3)}+{1/32+1/52-2/(3*5)}+{1/52+1/72-2/(5*7)}+…

= π2/8+(π2/8-1)-2(1/2)

= π2/4-2



似た方法により得られる各形式の級数。

 

左の2式に関しては

  1/(1*2)2+1/(2*3)2+1/(3*4)2+…

=(1/1-1/2)2+(1/2-1/3)2+(1/3-1/4)2+…

=(1/12+1/22-2/(1*2))+(1/22+1/32-2/(2*3))+(1/32+1/42-2/(3*4))+…

=(1/12+1/22-2/1+2/2)+(1/22+1/32-2/2+2/3)+(1/32+1/42-2/3+2/4)+…

= π2/6+(π2/6-1)-2

= π2/3-3

 

  1/(1*2)3+1/(2*3)3+1/(3*4)3+…

=(1/1-1/2)3+(1/2-1/3)3+(1/3-1/4)3+…

={1/13-1/23-3/(12*2)+3/(1*22)}+{1/23-1/33-3/(22*3)+3/(2*32)}+…

={1/13-1/23-3/(1*2)2}+{1/23-1/33-3/(2*3)2}+{1/33-1/43-3/(3*4)2}+…

= 1-3(π2/3-3)

=10-π2

 

    

    

 

符号の変化により、ππ2を含む値になる級数。



1/k5 程度の速さで収束する円周率の式。

 32/(12*3*52)+32/(52*7*92)+32/(92*11*132)+…

=(4/32)(1/12-1/52)+(4/72)(1/52-1/92)+(4/112)(1/92-1/132)+…

={4/(1*3)2-4/(3*5)2}+{4/(5*7)2-4/(7*9)2}+

={(1/1-1/3)2-(1/3-1/5)2}+{(1/5-1/7)2-(1/7-1/9)2}+

={(1/12+1/32-2/(1*3))-(1/32+1/52-2/(3*5))}+{(1/52+1/72-2/(5*7))-(1/72+1/92-2/(7*9))}+…

={(1/12+1/32-1/1+1/3)-(1/32+1/52-1/3+1/5)}+{(1/52+1/72-1/5+1/7)-(1/72+1/92-1/7+1/9)}+…

= 1-π/4+(1-π/4)

= 2-π/2

 

1/k7 程度の速さで収束する円周率の式。

 


分母を連続する奇数の積で表した円周率の式。


説明: hrb

ゼータ関数値との関係。

 

ζ(2)の値は前記の式より

 

ζ(3)の値は

  1/(25-23)+1/(45-43)+1/(65-63)+

= 1/(1*23*3)+1/(3*43*5)+1/(5*63*7)+

=(4/(1*3)-1)/23+(16/(3*5)-1)/43+(36/(5*7)-1)/63+

=(1/(1*2*3)-1/23)+(1/(3*4*5)-1/43)+(1/(5*6*7)-1/63)+

=(ln 2)-1/2-ζ(3)/23

 


偶数のゼータ関数値に関しては、ζ(4)の場合

  1/(1*22*3)+1/(3*42*5)+1/(5*62*7)+…=1/2-ζ(2)/22

であるので

  1/(26-24)+1/(46-44)+1/(66-64)+…

= 1/(1*24*3)+1/(3*44*5)+1/(5*64*7)+…

=(4/(1*3)-1)/24+(16/(3*5)-1)/44+(36/(5*7)-1)/64+…

=(1/(1*22*3)-1/24)+(1/(3*42*5)-1/44)+(1/(5*62*7)-1/64)+…

= 1/2-ζ(2)/22-ζ(4)/24

 

一般的にn0,2,4,6,… の場合、次式が成り立つ。右辺の最初の項は1/2である。


奇数のゼータ関数値に関しては、ζ(5)の場合

  1/(27-25)+1/(47-45)+1/(67-65)+

= 1/(1*25*3)+1/(3*45*5)+1/(5*65*7)+

=(4/(1*3)-1)/25+(16/(3*5)-1)/45+(36/(5*7)-1)/65+

=(1/(1*23*3)-1/25)+(1/(3*43*5)-1/45)+(1/(5*63*7)-1/65)+

=(ln 2)-1/2-ζ(3)/23-ζ(5)/25

 

一般的にn1,3,5,7,… の場合は次式が成り立つ。

 

n→∞ では左辺が0となり、ζ(k)/2k の無限和は「ζ(k)と母関数 ζ(k)の母関数(級数型関数)」での結果と一致する。


説明: hrb

分母が kn+1-kn 形式の級数

 

  1/(23-22)+1/(33-32)+1/(43-42)+

= 1/(221)+1/(322)+1/(423)+

= (1/1-1/2)/2+(1/2-1/3)/3+(1/3-1/4)/4+

= (1/1-1/2-1/22)+(1/2-1/3-1/32)+(1/3-1/4-1/42)+

= 2-π2/6

従って

 

  1/(23+22)+1/(33+32)+1/(43+42)+

= 1/(223)+1/(324)+1/(425)+

= (1/2-1/3)/2+(1/3-1/4)/3+(1/4-1/5)/4+

= (1/22+1/3-1/2)+(1/32+1/4-1/3)+(1/42+1/5-1/4)+

= π2/6-3/2

従って

立方数を引いた式は

 

説明: hrb

分母が kn+4-kn 形式の級数

 

  1/(26-22)+1/(46-42)+1/(66-62)+

= 1/(43-4)+1/(163-16)+1/(363-36)+

= 1/(3*4*5)+1/(15*16*17)+1/(35*36*37)+

= 1/(22*3*5)+1/(42*15*17)+1/(62*35*37)+

=(42/(3*5)-1)/22+(162/(15*17)-1)/42+(362/(35*37)-1)/62+

=(4 /(3*5)-1/22)+(16 /(15*17)-1/42)+(36 /(35*37)-1/62)+

=(π/8)(eπ+1)/(eπ-1)-π2/24

4/(3*5)+16/(15*17)+36/(35*37)+… の値は「平方数の逆数和」の 偶数に対応する和 を参照。

従って

 

先に求めた Σ1/{(2k)4-(2k)2}=1/2-π2/24 を使用してπ2/24を消去すると

 

2/(k4-1)=1/(k2-1)-1/(k2+1) の関係を利用して求めた式。

 

 

説明: hrb

分母の数字の立方数を引く方法を関数に対して適用する。

 

     に対して

    (-1<x<=1)

 

   に対しては

   (0<|x|<=1)

 

 

円周率の級数 4/1-4/3+4/5-4/7+… と補正項に関する部分を「円周率と級数」に移動した。(2010.11.23)

 

説明: hrb

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