ベルヌーイ数の生成規則(2)
generating rule for the Bernoulli numbers
ベルヌーイ数の生成規則を調べる。主に自然数の分割や積との関係を示す。
ベルヌーイ数を分母に階乗の積を持つ分数で表すと、k,n1,n2,…,nm を自然数として
例えば
分母の階乗の数字は、自然数に分割した数に1を加えたものである。例えばB3に関しては
3=3 より 4!
3=2+1=1+2 より 3!2! と 2!3!
3=1+1+1 より 2!2!2!
上記式は母関数を次のように展開して得ることができる。t = x1/2!+x2/3!+x3/4!+… とすると
B0+B1x1/1!+B2x2/2!+B3x3/3!+B4x4/4!+… = x/(ex-1) = 1/(1+t) = 1-t1+t2-t3+t4-…
tのべき乗は
-t1 = -x1/(2!)-x2/(3!)-x3/(4!)-x4/(5!)-…
+t2 = +x2/(2!2!)+x3/(2!3!)+x3/(3!2!)+x4/(2!4!)+x4/(4!2!)+x4/(3!3!)+…
-t3 = -x3/(2!2!2!)-x4/(2!2!3!)-x4/(2!3!2!)-x4/(3!2!2!)-…
+t4 = +x4/(2!2!2!2!)+…
:
であることを利用してxkの項を係数比較すればBkの値が求まる。
B3やB5等は正負の項が相殺されて値は0になるが、B1の場合は項数が1のため0にはならない。
自然数に分割した数を階乗の積に直接使用して表すこともできる。
例えば
上記式は母関数を次のように展開して得ることができる。
x = ln ex = ln(1+ex-1) = (ex-1)-(ex-1)2/2+(ex-1)3/3-(ex-1)4/4+(ex-1)5/5-… より
x/(ex-1) = 1-(ex-1)/2+(ex-1)2/3-(ex-1)3/4+(ex-1)4/5-…
-(ex-1)1/2 = -x1/(1!2)-x2/(2!2)-x3/(3!2)-x4/(4!2)-…
+(ex-1)2/3 = +x2/(1!1!3)+x3/(1!2!3)+x3/(2!1!3)+x4/(1!3!3)+x4/(3!1!3)+x4/(2!2!3)+…
-(ex-1)3/4 = -x3/(1!1!1!4)-x4/(1!1!2!4)-x4/(1!2!1!4)-x4/(2!1!1!4)-…
+(ex-1)4/5 = +x4/(1!1!1!1!5)+…
:
であることを利用してxkの項を係数比較すればBkの値が求まる。
偶数のベルヌーイ数を偶数分割の式で表すと
例えば
奇数分割の同様な式も成り立つ。
ベルヌーイ数は自然数の積で表すことができる。「級数と乗積 自然数の累乗の階差とゼータ関数」を参照。
内側のΣ部分は「1からmまで1以下の差で増加する、k個の自然数の積和」である。
:
また最後の数字だけを分母にした式で求めることもできる。
:
偶数のベルヌーイ数は更に簡単な自然数の積の一重和(Σ)で表すことができる。
k,n1,n2,… は自然数
「オイラー数とタンジェント数(2)」のタンジェント数を参照。Σ部分は
「1から始まり1で終了する、隣同士の差が1である2k-1個の自然数の積和」である。
例えば
二項係数を成分とする行列の積と行列式で表すこともできる。例えば
1,2,3,…と連続する自然数の積に、自然数に分割した数を指数として組み合わせた式。
k=2,3,4,5,…
例えば
上記は「オイラー数とタンジェント数(1)」での式
Tk=|Σn1+n2+…+nm=k-m m!(-2)n1(-4)n2…(-2m)nm|
を利用した式である。
k=1,2,3,4,…
例えば
上記式は「ベルヌーイ数の母関数」で得た式
1!x/{2(1+x)}+2!x2/{3(1+x)(1+2x)}+3!x3/{4(1+x)(1+2x))(1+3x)}+…
=-B1x+B2x2-B3x3+B4x4-…
を係数比較して求めることができる。左辺を t1+t1t2+t1t2t3+… としたとき
t1 -> 12x/{2(1+1x)} = (1/2)(11x1-12x2+13x3-14x4+…)
t2 -> 22x/{3(1+2x)} = (2/3)(21x1-22x2+23x3-24x4+…)
t3 -> 32x/{4(1+3x)} = (3/4)(31x1-32x2+33x3-34x4+…)
:
と展開すると、例えばx2の係数B2はt1部分の-12/2とt1t2部分の1121/3の和となる。