連分数と秩序

連分数と秩序

連分数により秩序正しさが見えてくる。そのような例を説明する。

平方根の例

自然数の平方根は小数部分が無秩序であるかのように見える。
√1 = 1.0000000000…   √5 = 2.2360679774…   √ 9 = 3.0000000000…
√2 = 1.4142135623…   √6 = 2.4494897427…   √10 = 3.1622776601…
√3 = 1.7320508075…   √7 = 2.6457513110…   √11 = 3.3166247903…
√4 = 2.0000000000…   √8 = 2.8284271247…             :

ところが連分数で表現すると小数部分が規則正しく変化し、整数部分に繰り上がっていることがわかる。分母が整数部分の2倍になるようにして1から始めると

'2/2+'まで来たので次は整数部分が +1 されて2になる。

'4/4+'まで来たので次は整数部分が +1 されて3になる。

…

この規則は極めて単純なものである。「平方根の展開」を参照。

tan関数の例

べき級数でこの関数を表すと、タンジェント数を含む複雑な係数になる。

ところが連分数は単純な係数である。

これも「単純な規則で秩序正しく成り立っている」ことの一例である。

「関数展開の比較」を参照。

二項展開や通常母関数の例

級数では複雑であったり表現が困難な場合でも、連分数により単純に表現できることがある。

二項展開の級数は高次の項が複雑になるが、連分数では後の項も単純である。

表現が困難なオイラー数やタンジェント数の通常母関数も、連分数を使用すると表現できる。

上記は「自然数による秩序」を示す良い例である。

これらの例のように加減算、小数、級数の世界では複雑な規則あるいは無秩序に見える事柄が、連分数を使用することによってその秩序正しさを示せることが多い。そのような例を示すのが今回の目的の一つである。

フラクタルな構造を持つ連分数により、混沌としたものに隠れていた秩序が現れるのは興味深い。