オイラー数とタンジェント数の母関数
オイラー数とタンジェント数の通常母関数を求める。
オイラー数は E0=1,E2=-1,E4=5,E6=-61,E8=1385,E10=-50521,…,E1=E3=E5=E7=…=0 の値を持ち、
等に現れる整数である。
|E2k| は 1+33325/3332333363 = 1.00001000050006101385… の数値等にも出現する。
次の指数型母関数による級数で定義される。
sech x=2/(e x+e-x)=E0/0!+E2x2/2!+E4x4/4!+E6x6/6!+…
sec x=1/(cos x )=E0/0!-E2x2/2!+E4x4/4!-E6x6/6!+…
分母に階乗を持たない通常母関数は、次の連分数であると思われる。
この式は漸近展開であるかも知れない。数値計算により見つけた式のため、詳細は不明。
x=1 の場合、右辺はオイラー数の和であるが、左辺の値は ln 2 である。x=1/2 の場合は値が 4-π になる。
式の値により確認する。x=10-5 の時、先頭の値が一致する。
1/(1+(1x)2/(1+(2x)2/(1+(3x)2/(1+(4x)2/(1+(5x)2/(1+(6x)2/(1)))))))
= 0.9999999999000000000499999999390000001384999994947900027027649826…
1 -1x2
+ 5x4 -61x6 +1385x8 -50521x10
+2702765x12
= 0.999999999900000000049999999939000000138499999494790002702765
負の数は見にくいため |E2k| で確認すると
1/(1-(1x)2/(1-(2x)2/(1-(3x)2/(1-(4x)2/(1-(5x)2/(1-(6x)2/(1)))))))
= 1.0000000001000000000500000000610000001385000005052100027027650173…
(kx)2 の項までを計算すると、|E2k| までの値が一致する。
その後の調査で上記の連分数は Bender が論文
Continued Fraction as a Discrete Nonlinear Transform で示している事が判明した。(9g)の式である。
分母に階乗を持たないタンジェント数の通常母関数を求める。「オイラー数とタンジェント数(1)」を参照。
係数がオイラー数である式にタンジェント数が現れることを利用する。
係数がオイラー数である式は、母関数となる連分数がわかっている。また
タンジェント数が現れる値は、タンジェント数の1/10nに関する級数となっている。
z=1/(10m+1), x=1/10m とすると 1/z=1/x+1 より z=x/(1+x) であるため、オイラー数の母関数の x を x/(1+x) に置き換えればよい。最後に少し変形すると次式となる。
xから始まる式にすると
x=i/105 での左辺の値を求めると、全て'+'の数字で確認できる。
0.00001000000000200000000160000000272000000793600003537920022368256…i
多くの数列に対応する連分数を示している P.FLAJOLET の論文
COMBINATORIAL ASPECTS OF CONTINUED FRACTIONS にある Theorem 3A (iii) の式を変形すると、次の単純な形になる。
級数としてのタンジェント数の通常母関数を求める。
「級数と乗積 自然数の累乗の階差とゼータ関数」よりTkは
T1 = 1*20 = 1
T2 = 1*21- 2*20 = 0
-T3 = 1*22- 6*21+ 6*20 =-2
T4 = 1*23-14*22+ 36*21- 24*20 = 0
T5 = 1*24-30*23+150*22-240*21+120*20 = 16
:
知られている第2種スターリング数{mk}の母関数から始める。
x1/ (1-x) = {11}x1+{12}x2+{13}x3+{14}x4+{15}x5+…
x2/{(1-x)(1-2x)} = {22}x2+{23}x3+{24}x4+{25}x5+…
x3/{(1-x)(1-2x)(1-3x)} = {33}x3+{34}x4+{35}x5+…
:
係数を合わせるためにm!倍すると
1!x1/ (1-x) = x1+ x2+ x3+ x4+ x5+…
2!x2/{(1-x)(1-2x)} = 2x2+ 6x3+14x4+ 30x5+…
3!x3/{(1-x)(1-2x)(1-3x)} = 6x3+36x4+150x5+…
:
交代和を求めるためにxを-xにすると
1!x1/ (1+x) = x1- x2+ x3- x4+ x5-…
2!x2/{(1+x)(1+2x)} = 2x2- 6x3+14x4- 30x5+…
3!x3/{(1+x)(1+2x)(1+3x)} = 6x3-36x4+150x5-…
:
2の累乗を出現させるためにxを2xにすると
1!x1/ (1+2x) = 1*20x1- 1*21x2+ 1*22x3- 1*23x4+ 1*24x5-…
2!x2/{(1+2x)(1+4x)} = 2*20x2- 6*21x3+14*22x4- 30*23x5+…
3!x3/{(1+2x)(1+4x)(1+6x)} = 6*20x3-36*21x4+150*22x5-…
:
右辺の和は T1x1-T2x2-T3x3+T4x4+T5x5-… = T1x1-T3x3+T5x5-T7x7+… となる。
整理すると
xを1/xにすると更に簡潔な式になる。
x=1 の場合、右辺は奇数タンジェント数の交代和であるが、左辺の値は π/2-1 である。
参考:0!/1!!+1!/3!!+2!/5!!+3!/7!!+4!/9!!+…=π/2
タンジェント数が三角関数とは無関係に、自然数と偶数から生成される。
級数としてのオイラー数の通常母関数を求める。
「オイラー数とタンジェント数(1)」の結果
E0/x+E1/x2+E2/x3+E3/x4+E4/x5+…
= 1/(x-1)-T1/(x-1)2+T2/(x-1)3+T3/(x-1)4-T4/(x-1)5-T5/(x-1)6+…
を上記式に適用すると
xを1/xにすると
オイラー数は自然数と奇数から生成される。